Сайт Марии Федотовой, студентки СПГМТУ

Тезисы доклада

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ВЫСОТА

Федотова М.В., mashavph@narod.ru; СПГМТУ, г. Санкт-Петербург

В работах  В.П.Федотова и его учеников [1-3] построены новые системы счисления, позволяющие максимально эффективно упаковывать информацию о вещественном числе. Исследование башенных [1] систем счисления привело к задаче о функциях, инвариантных относительно логарифмирования. Представление примера такой функции – одна из целей этого доклада.

Теорема 1. Для любого вещественного числа b>e1/e существует и единственна непрерывная функция hlb(x), определенная на положительной полуоси x≥0 и удовлетворяющая равенствам:   1)  hlb(0)=0  ,    2)  hlb(bx)=1+ hlb(x)  ,    3)  hlb(1/x)=1/ hlb(x)   .  Эта функция hlb(x) неотрицательна и строго монотонно возрастает.

Определение.  Назовем hlb(x) логарифмической высотой x относительно b . Для важнейших частных случаев введем специальные обозначения:  hlb(x) для b=2,  hln(x) для b=e,  hld(x) для b=10.

Легко найти следующие значения:  hlb(1)=1  ,  hlb(b)=2  ,  hlb(bb)=3  ,  hlb(1/b)=1/2 .  Хотя  hlb(x)→∞ при x→∞ , логарифмическая высота растет медленнее любой из (бесконечно больших) элементарных функций. Это видно как из бесконечной малости производных всех порядков, так и на примере конкретных значений:  hlb(265536)=6 ,  hld(1010000000000)=4 .

Теорема 2.  Если  x≥1 , то  logb{hlb(x)}= {hlb(x)} .

Здесь, как и обычно, фигурные скобки обозначают дробную часть числа. Теорема утверждает, что дробная часть логарифмической высоты инвариантна относительно логарифмирования по тому же основанию.

Литература

1.        Федотов В.П. Башенные системы счисления. // Сб. «Информационные технологии в образовании». – СПб, 1998.

2.        Баранова Н.В. , Федотов В.П. Итерационные системы счисления. // Сб.  «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 1. – Самара, 2001, с. 21.

     3. Федотова М.В., Федотов В.П. Интервальные системы счисления. // Сб. «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 1. – Самара, 2001, с. 55.
Сайт управляется системой uCoz