Тезисы доклада

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ВЫСОТА

Федотова М.В., mashavph@narod.ru; СПГМТУ, г. Санкт-Петербург

В работах  В.П.Федотова и его учеников [1-3] построены новые системы счисления, позволяющие максимально эффективно упаковывать информацию о вещественном числе. Исследование башенных [1] систем счисления привело к задаче о функциях, инвариантных относительно логарифмирования. Представление примера такой функции – одна из целей этого доклада.

Теорема 1. Для любого вещественного числа b>e^1/e существует и единственна непрерывная функция hl_b(x), определенная на положительной полуоси x≥0 и удовлетворяющая равенствам:   1)  hl_b(0)=0  ,    2)  hl_b(b^x)=1+ hl_b(x)  ,    3)  hl_b(1/x)=1/ hl_b(x)   .  Эта функция hl_b(x) неотрицательна и строго монотонно возрастает.

Определение.  Назовем hl_b(x) логарифмической высотой x относительно b . Для важнейших частных случаев введем специальные обозначения:  hlb(x) для b=2,  hln(x) для b=e,  hld(x) для b=10.

Легко найти следующие значения:  hl_b(1)=1  ,  hl_b(b)=2  ,  hl_b(b^b)=3  ,  hl_b(1/b)=1/2 .  Хотя  hl_b(x)→∞ при x→∞ , логарифмическая высота растет медленнее любой из (бесконечно больших) элементарных функций. Это видно как из бесконечной малости производных всех порядков, так и на примере конкретных значений:  hlb(2⁶⁵⁵³⁶)=6 ,  hld(10^10000000000)=4 .

Теорема 2.  Если  x≥1 , то  log_b{hl_b(x)}= {hl_b(x)} .

Здесь, как и обычно, фигурные скобки обозначают дробную часть числа. Теорема утверждает, что дробная часть логарифмической высоты инвариантна относительно логарифмирования по тому же основанию.

Литература

1.        Федотов В.П. Башенные системы счисления. // Сб. «Информационные технологии в образовании». – СПб, 1998.

2.        Баранова Н.В. , Федотов В.П. Итерационные системы счисления. // Сб.  «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 1. – Самара, 2001, с. 21.